読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

設計によるセレンディピティ

"The best way to predict the future is to invent it. " ∧ "The future is here. It's just not evenly distributed yet."

今日,『数学の言葉で世界を見たら』から学んだこと

連続体仮説

自然数の集合より大きく,実数の集合より小さい集合は,存在しない」というカントールの予想.
ゲーデルの定理とコーエンの定理を組み合わせると,連続体仮説は正しいとも間違っているとも証明できないことがわかる.
肯定しても否定しても,数学の世界に矛盾が起きない.
つまり,「自然数の集合より大きく,実数の集合よりは小さい集合」が,存在するような数学の世界を考えることもできるし,存在しない数学の世界を考えることもできる,という.

0.999999... = 1 の式の意味は,「0.9, 0.99, 0.999,...の極限は1」という意味

数列 a_1, a_2, a_3 があったときに,それがある数Aに近づいていくとする.
そのとき,どんなに高い精度を要求しても,数列のあるところから先の数は全部その精度を見たしているときに,「この数列の極限はAだ」という.
これが,極限の定義.
たとえば,数列 0.9, 0.99, 0.999,... は1に近づいているように見える.
どんなに高い精度を要求しても,あるnから先の数 a_n, a{n+1}, a{n+2},...と1との差は,すべてその精度を満たす.
ゆえに, 0.9, 0.99, 0.999,...の極限は1
これが, 0.999999... = 1 の式の意味

公理

推論の基礎となる規則のこと.

公理系

公理の集まり.

排中律

全ての主張は,「正しい」か「正しくない」の二者択一しかない,を主張する法則.

ゲーデルの第一不完全性定理

ヒルベルトの「数学では,すべての主張は,正しいか間違っているのかがわかる」という信念を打ち砕くものだった.
自然数についての主張で,その公理だけからは証明も反証もできないものが必ず存在する」ことが示された. 第一不完全性定理は,自然数の定理の証明ができないと主張しているわけではない.
すべての定理を証明することはできないと言っているだけ.

不完全性定理自然数を含む理論についての限定的な主張.

参考文献

1) 大栗 博司:『数学の言葉で世界を見たら』幻冬舎, 2015.