設計によるセレンディピティ

"The best way to predict the future is to invent it. " ∧ "The future is here. It's just not evenly distributed yet."

王城夕紀『青の数学』9頁から11頁を栢山と京香凛とともに解く.

王城夕紀『青の数学 (新潮文庫nex)』9頁から11頁を栢山と京香凛とともに解く.

 n x が整数のとき,  2^{n}+7=x^{2} の解をすべて求めよ。

式を展開できるか?

 7 を右辺に移して,因数分解する.(  n が偶数の場合だけでは?)

 \displaystyle
 \begin{eqnarray}
2^{n} &=& x^{2}-7 \\
   &=& (x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})
\end{eqnarray}

 2^{n} を右辺に移して因数分解する.

 \displaystyle
\begin{eqnarray}
7 &=& x^{2}-2^{n}  \\
   &=& (x-2^{\frac{n}{2}})(x+2^{\frac{n}{2}})
\end{eqnarray}

 (x-2^{\frac{n}{2}}),  (x+2^{\frac{n}{2}}) 7 の因数なので

 \displaystyle
\begin{eqnarray}
7 &=& x^{2}-2^{n}\\
   &=& (x-2^{\frac{n}{2}})(x+2^{\frac{n}{2}})\\
   &=& \pm 1 \cdot \pm 7
\end{eqnarray}

栢山の頭で「  -7, -1, 1, 7 という数字が躍る」

次に,栢山がひらめき,彼女が既に検討済みの,法を  2 にした場合の展開
$$2^{n}+7=x^{2} \pmod 2$$

 \displaystyle
\begin{eqnarray}
x^{2}\pmod 2
 =
  \begin{cases}
    7 & (n \gt 0) \\
    8 & (n = 0)
  \end{cases}
\end{eqnarray}

行き止まり

彼女が書き記した法が  4 の場合の展開 $$2^{n}+7=x^{2} \pmod 4$$

 \displaystyle
\begin{eqnarray}
x^{2}\pmod 4
 =
  \begin{cases}
    3 & (n \gt 1) \\
    1 & (n = 1) \\
    0 & (n = 0) \\
  \end{cases}
\end{eqnarray}

 x が偶数 (  2k) ,奇数 ( 2k+1)のときで場合分けする

 \displaystyle
\begin{eqnarray}
x^{2}
 =
  \begin{cases}
    4k^{2}=0\pmod 4 & (x=2k) \\
    4(k^{2}+k)+1=1\pmod 4 & (x=2k+1) \\
  \end{cases}
\end{eqnarray}

よって,  x^{2}=0 \pmod 4 あるいは  1 \pmod 4 でなければならないため,  n=0 あるいは  1

 \displaystyle
\begin{eqnarray}
x^{2}
 =
  \begin{cases}
    8 & (n=0) \\
    9 & (n=1) \\
  \end{cases}
\end{eqnarray}
 \displaystyle
\begin{eqnarray}
x
 =
  \begin{cases}
    \pm 2\sqrt2 & (n=0) \\
    \pm 3 & (n=1) \\
  \end{cases}
\end{eqnarray}

 x が整数のときという条件なので,  n=1,x=\pm3

青の数学 (新潮文庫nex)

青の数学 (新潮文庫nex)