王城夕紀『青の数学 (新潮文庫nex)』9頁から11頁を栢山と京香凛とともに解く．

$n$ と $x$ が整数のとき， $2^{n}+7=x^{2}$ の解をすべて求めよ。

式を展開できるか?

$7$ を右辺に移して，因数分解する．( $n$ が偶数の場合だけでは?)

$\displaystyle \begin{eqnarray} 2^{n} &=& x^{2}-7 \\ &=& (x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7}) \end{eqnarray}$

$2^{n}$ を右辺に移して因数分解する．

$\displaystyle \begin{eqnarray} 7 &=& x^{2}-2^{n} \\ &=& (x-2^{\frac{n}{2}})(x+2^{\frac{n}{2}}) \end{eqnarray}$

$(x-2^{\frac{n}{2}})$ , $(x+2^{\frac{n}{2}})$ は $7$ の因数なので

$\displaystyle \begin{eqnarray} 7 &=& x^{2}-2^{n}\\ &=& (x-2^{\frac{n}{2}})(x+2^{\frac{n}{2}})\\ &=& \pm 1 \cdot \pm 7 \end{eqnarray}$

栢山の頭で「 $-7, -1, 1, 7$ という数字が躍る」

次に，栢山がひらめき，彼女が既に検討済みの，法を $2$ にした場合の展開
$$2^{n}+7=x^{2} \pmod 2$$

$\displaystyle \begin{eqnarray} x^{2}\pmod 2 = \begin{cases} 7 & (n \gt 0) \\ 8 & (n = 0) \end{cases} \end{eqnarray}$

行き止まり

彼女が書き記した法が $4$ の場合の展開 $$2^{n}+7=x^{2} \pmod 4$$

$\displaystyle \begin{eqnarray} x^{2}\pmod 4 = \begin{cases} 3 & (n \gt 1) \\ 1 & (n = 1) \\ 0 & (n = 0) \\ \end{cases} \end{eqnarray}$

$x$ が偶数 ( $2k$ ) ，奇数 ( $2k+1$ )のときで場合分けする

$\displaystyle \begin{eqnarray} x^{2} = \begin{cases} 4k^{2}=0\pmod 4 & (x=2k) \\ 4(k^{2}+k)+1=1\pmod 4 & (x=2k+1) \\ \end{cases} \end{eqnarray}$

よって， $x^{2}=0 \pmod 4$ あるいは $1 \pmod 4$ でなければならないため， $n=0$ あるいは $1$

$\displaystyle \begin{eqnarray} x^{2} = \begin{cases} 8 & (n=0) \\ 9 & (n=1) \\ \end{cases} \end{eqnarray}$

$\displaystyle \begin{eqnarray} x = \begin{cases} \pm 2\sqrt2 & (n=0) \\ \pm 3 & (n=1) \\ \end{cases} \end{eqnarray}$

$x$ が整数のときという条件なので， $n=１，x=\pm3$

設計によるセレンディピティ